已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，在正方体表面上与点 $A$ 距离为 $\dfrac{2\sqrt3}{3}$ 的点的集合形成一条曲线，该曲线不一定在同一平面上，则此曲线的长度为 ．
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{5\sqrt3\pi}{6}$
【解析】
在面 $ABB_1A_1$ 上的一段曲线是以 $A$ 为圆心，$\dfrac{2\sqrt3}{3}$ 为半径的一段圆弧，且弧所对的圆心角为 $\dfrac{\pi}{6}$．如图所示，在面 $A_1B_1C_1D_1$ 上的一段曲线是以 $A_1$ 为圆心，$\dfrac{\sqrt3}3$ 为半径的一段圆弧，且弧所对的圆心角为 $\dfrac{\pi}{2}$，再由正方体的对称性知这条曲线的长度为$$3\cdot\left(\dfrac{\pi}{6}\cdot\dfrac{2\sqrt3}{3}+\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}\right)=\dfrac{5\sqrt3\pi}{6}.$$
题目
答案
解析
备注
