已知函数 $f(x)=\left|x^2-1\right|$，若关于 $x$ 的方程 $f^2(x)-mf(x)+2m-1=0$（$m$ 为实常数）有 $6$ 个实数解，则实数 $m$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left\{\dfrac 12\right\}$
【解析】
先考虑函数 $y=f(x)$ 的图象与 $y=t$ 的公共点个数 $n_t$ 和 $t$ 的取值之间的关系．\[\begin{array}{c|ccccc} \hline
t&(-\infty,0)&0&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline
n_t&0&2&4&3&2 \\ \hline
\end{array}\]因此根据题意，关于 $t$ 的方程\[t^2-mt+2m-1=0\]在 $(0,1)$ 内有一个实数解，另一个实数解或者为 $0$，或者在区间 $(1,+\infty)$ 内．分离变量，有\[m=\dfrac{t^2-1}{t-2}=t-2+\dfrac{3}{t-2}+4,\]记右侧为函数 $\varphi(t)$，则 $\varphi(t)$ 在 $\left(0,2-\sqrt 3\right)$ 上单调递增，在 $\left(2-\sqrt 3,1\right)$ 上单调递减，当 $t>2$ 时，$\varphi(t)\geqslant 4+2\sqrt 3$，结合\[\varphi(0)=\dfrac 12,\varphi\left(2-\sqrt 3\right)=4-2\sqrt 3,\varphi(1)=0,\]如图．
因此实数 $m$ 的取值范围是 $\left\{\dfrac 12\right\}$．
t&(-\infty,0)&0&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline
n_t&0&2&4&3&2 \\ \hline
\end{array}\]因此根据题意，关于 $t$ 的方程\[t^2-mt+2m-1=0\]在 $(0,1)$ 内有一个实数解，另一个实数解或者为 $0$，或者在区间 $(1,+\infty)$ 内．分离变量，有\[m=\dfrac{t^2-1}{t-2}=t-2+\dfrac{3}{t-2}+4,\]记右侧为函数 $\varphi(t)$，则 $\varphi(t)$ 在 $\left(0,2-\sqrt 3\right)$ 上单调递增，在 $\left(2-\sqrt 3,1\right)$ 上单调递减，当 $t>2$ 时，$\varphi(t)\geqslant 4+2\sqrt 3$，结合\[\varphi(0)=\dfrac 12,\varphi\left(2-\sqrt 3\right)=4-2\sqrt 3,\varphi(1)=0,\]如图．
因此实数 $m$ 的取值范围是 $\left\{\dfrac 12\right\}$．
题目
答案
解析
备注
