已知函数 $f(x)=\left|x^2-1\right|$，若关于 $x$ 的方程 $f^2(x)-mf(x)+2m-1=0$（$m$ 为实常数）有 $6$ 个实数解，则实数 $m$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left\{\dfrac 12\right\}$
【解析】
先考虑函数 $y=f(x)$ 的图象与 $y=t$ 的公共点个数 $n_t$ 和 $t$ 的取值之间的关系．\[\begin{array}{c|ccccc} \hline
t&(-\infty,0)&0&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline
n_t&0&2&4&3&2 \\ \hline
\end{array}\]记关于 $t$ 的方程\[t^2-mt+2m-1=0\]的实数根为 $t_1,t_2$，设函数 $g(t)=t^2-mt+2m-1$．
根据题意知此方程在 $(0,1)$ 内有一个实数解，另一个实数解或者为 $0$，或者在区间 $(1,+\infty)$ 内．
情形一 $t_1\in(0,1),t_2\in(1,+\infty)$
记 $g(t)=t^2-mt+2m-1$，则有 $g(0)>0$ 且 $g(1)<0$，无解；
情形二 $t_1=0,t_2\in(0,1)$
此时 $g(0)=0$ 解得 $m=\dfrac 12$，检验知此时符合题意．
因此实数 $m$ 的取值范围是 $\left\{\dfrac 12\right\}$．
t&(-\infty,0)&0&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline
n_t&0&2&4&3&2 \\ \hline
\end{array}\]记关于 $t$ 的方程\[t^2-mt+2m-1=0\]的实数根为 $t_1,t_2$，设函数 $g(t)=t^2-mt+2m-1$．
根据题意知此方程在 $(0,1)$ 内有一个实数解，另一个实数解或者为 $0$，或者在区间 $(1,+\infty)$ 内．
记 $g(t)=t^2-mt+2m-1$，则有 $g(0)>0$ 且 $g(1)<0$，无解；
此时 $g(0)=0$ 解得 $m=\dfrac 12$，检验知此时符合题意．
因此实数 $m$ 的取值范围是 $\left\{\dfrac 12\right\}$．
题目
答案
解析
备注
