如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$A(-1,0)$，$B(1,0)$．点 $C$ 是单位圆上一点，且其纵坐标大于 $0$，延长 $AC$ 到 $P$，使 $CP=CB$．当点 $C$ 从 $B$ 点运动到 $A$ 点时，点 $P$ 运动的轨迹长度为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 2\pi$
【解析】
设 $\angle CAB=\theta$，其中 $\theta\in \left[0,\dfrac{\pi}2\right]$，则 $CA=2\cos\theta$，$CB=2\sin\theta$，于是\[AP=AC+CP=2\sin\theta+2\cos\theta,\]于是 $P$ 点的坐标为\[\left(\left(2\sin\theta+2\cos\theta\right)\cos\theta-1,\left(2\sin\theta+2\cos\theta\right)\sin\theta\right),\]即\[\left(\sqrt 2\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}4\right),1-\sqrt 2\cos\left(2\theta+\dfrac{\pi}4\right)\right),\]因此点 $P$ 的轨迹是以 $(0,1)$ 为圆心，$\sqrt 2$ 为半径的半圆，其长度为 $\sqrt 2\pi$．
题目
答案
解析
备注
