已知正数 $x,y$ 满足 $2xy=\dfrac{2x-y}{2x+3y}$，那么 $y$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 13$
【解析】
根据题意，有\[4yx^2+\left(6y^2-2\right)x+y=0,\]其判别式\[\Delta=4\left(9y^2-1\right)\left(y^2-1\right)\geqslant 0,\]于是\[0\leqslant y\leqslant \dfrac 13\lor y\geqslant 1.\]若 $y\geqslant 1$，则关于 $x$ 的方程\[4yx^2+\left(6y^2-2\right)x+y=0\]没有正根，与题意不符．
而当 $x=\dfrac 12$ 时，$y=\dfrac 13$，因此所求 $y$ 的最大值为 $\dfrac 13$．
而当 $x=\dfrac 12$ 时，$y=\dfrac 13$，因此所求 $y$ 的最大值为 $\dfrac 13$．
题目
答案
解析
备注
