已知 $a,b\in\mathbb R$，且 $a^2+ab+b^2=3$，设 $a^2-ab+b^2$ 的最大值和最小值分别为 $M,m$，则 $M+m=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
根据题意有$$a^2-ab+b^2=a^2+b^2+ab-2ab=3-2ab.$$因此仅需求出 $ab$ 的最值即可，由于$$3=a^2+ab+b^2\geqslant ab+2|ab|,$$当 $a,b$ 同号时，$0<ab\leqslant 1$，当 $a,b$ 异号时，$0>ab\geqslant -3$．因此 $3-2ab$ 也即 $a^2-ab+b^2$ 的最大值与最小值分别为 $9$ 和 $1$，分别当 $a=-b=\sqrt3$ 与 $a=b=1$ 时取得，因此$$M+m=10.$$
题目
答案
解析
备注
