已知函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=\dfrac14$，$f(x)+f(y)=4f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)f\left(\dfrac{x-y}{2}\right)$，$x,y\in\mathbb R$．则 $f(-2011)=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac14$
【解析】
令 $x=y=1$，则 $f(0)=\dfrac12$，
令 $y=-x$，则 $f(x)=f(-x)$，
令 $y=x+2$，则$$f(x)+f(x+2)=4f(x+1)\cdot f(-1)=f(x+1),$$所以$$f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),$$以上两式相加可得$$f(x)=-f(x+3),$$所以$$f(x)=f(x+6),$$于是$$f(-2011)=f(2011)=f(1)=\dfrac14.$$
令 $y=-x$，则 $f(x)=f(-x)$，
令 $y=x+2$，则$$f(x)+f(x+2)=4f(x+1)\cdot f(-1)=f(x+1),$$所以$$f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),$$以上两式相加可得$$f(x)=-f(x+3),$$所以$$f(x)=f(x+6),$$于是$$f(-2011)=f(2011)=f(1)=\dfrac14.$$
题目
答案
解析
备注
