若 $x>1,y>\dfrac12$，不等式 $\dfrac{x^2}{a^2(2y-1)}+\dfrac{4y^2}{a^2(x-1)}\geqslant 1$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2\sqrt2$
【解析】
原不等式等价于$$\forall x>1,y>\dfrac12,\dfrac{x^2}{2y-1}+\dfrac{4y^2}{x-1}\geqslant a^2,$$因此只需求出上述不等式左边的最大值，而$$\begin{split} x^2\geqslant 4x-4,\\
y^2\geqslant 2y-1, \end{split}$$因此$$\dfrac{x^2}{2y-1}+\dfrac{4y^2}{x-1}\geqslant \dfrac{4(x-1)}{2y-1}+\dfrac{4(2y-1)}{x-1}\geqslant 8. $$当 $(x,y)=(2,1)$ 时，不等式取等．因此 $a^2$ 的取值范围为 $(0,8]$，所以 $a$ 的最大值为 $2\sqrt2$．
y^2\geqslant 2y-1, \end{split}$$因此$$\dfrac{x^2}{2y-1}+\dfrac{4y^2}{x-1}\geqslant \dfrac{4(x-1)}{2y-1}+\dfrac{4(2y-1)}{x-1}\geqslant 8. $$当 $(x,y)=(2,1)$ 时，不等式取等．因此 $a^2$ 的取值范围为 $(0,8]$，所以 $a$ 的最大值为 $2\sqrt2$．
题目
答案
解析
备注
