已知球内接正六棱柱的体积为 $2$，则当其外接球的体积最小时，正六棱柱的底面边长为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt 6}3$
【解析】
设正六棱柱的底面边长为 $x$，高为 $2y$，外接球的半径为 $R$，则其体积\[6\cdot \dfrac{\sqrt 3}4x^2\cdot 2y=2,\]于是\[x^2\cdot y=\dfrac{2}{3\sqrt 3},\]因此\[R^2=x^2+y^2=\dfrac 12x^2+\dfrac 12x^2+y^2\geqslant 3\left(\dfrac{x^4y^2}4\right)^{\frac 13},\]等号当且仅当 $\dfrac 12x^2=y^2$ 时取得，此时有\[x^4\cdot \dfrac 12x^2=\left(\dfrac{2}{3\sqrt 3}\right)^2,\]解得 $x=\dfrac{\sqrt 6}3$．
题目
答案
解析
备注
