已知函数 $f(x),g(x)$ 的定义域都是 $D$，直线 $x=x_0$（$x_0\in D$）与函数 $f(x),g(x)$ 的图象分别交于 $A,B$ 两点，若 $|AB|$ 的值是不等于 $0$ 的常数，则称曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 为平行曲线．设函数 $f(x)={\rm e}^x-a\ln x+c$（$a>0,c\ne 0$），且曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 是平行曲线．若 $g(1)={\rm e}$，且 $g(x)$ 在 $(2,3)$ 内的零点唯一，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{{\rm e}^2}{\ln 2},\dfrac{{\rm e}^3}{\ln 3}\right]$
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 与函数 $g(x)$ 的解析式只相差一个常数．因此\[g(x)={\rm e}^x-a\ln x,\]进而方程\[{\rm e}^x-a\ln x=0,\]即\[a=\dfrac{{\rm e}^x}{\ln x},\]记右侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{{\rm e}^x\left(\ln x-\dfrac 1x\right)}{\ln^2x},\]而在 $(2,3)$ 上，有\[\ln x-\dfrac 1x>\ln 2-\dfrac 12=\dfrac{\ln 4-1}2>0,\]于是 $\varphi(x)$ 在 $(2,3)$ 上单调递增，因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{{\rm e}^2}{\ln 2},\dfrac{{\rm e}^3}{\ln 3}\right]$．
题目
答案
解析
备注
