已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-10x-10y+45=0$，则 $\dfrac{2x^2-xy-y}{x}$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-2$
【解析】
根据题意，有\[(x-5)^2+(y-5)^2=5,\]即点 $(x,y)$ 在一个圆上，记为圆 $M$．所求代数式\[m=\dfrac{2x^2-xy-y}{x}=(2x-y)-\dfrac yx,\]考虑过原点的圆 $M$ 的切线 $MP$（斜率较大的切线），其中 $P$ 为切点，如图：
容易计算得 $\tan\angle POM=\dfrac 13$，从而$$k_{OP}=\tan\left(\angle POM+\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{1+\dfrac 13}{1-\dfrac 13}=2,$$所以当 $(x,y)$ 取 $P$ 点坐标时，$2x-y$ 取到最小值，$\dfrac yx$ 取到最大值，从而所求代数式有最小值为\[5-\sqrt 5\cdot \sqrt 5-2=-2,\]此时 $x=3,y=6$．
容易计算得 $\tan\angle POM=\dfrac 13$，从而$$k_{OP}=\tan\left(\angle POM+\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{1+\dfrac 13}{1-\dfrac 13}=2,$$所以当 $(x,y)$ 取 $P$ 点坐标时，$2x-y$ 取到最小值，$\dfrac yx$ 取到最大值，从而所求代数式有最小值为\[5-\sqrt 5\cdot \sqrt 5-2=-2,\]此时 $x=3,y=6$．
题目
答案
解析
备注
