直线 $l$ 在平面 $\pi$ 上．直线 $m$ 平行于平面 $\pi$，并于直线 $l$ 异面．动点 $P$ 在平面 $\pi$ 上，且到 $l$ 和 $m$ 的距离相等．则 $P$ 点的轨迹是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
设 $m$ 在平面 $\pi$ 上的投影为 $m'$，$m'$ 交 $l$ 于 $O$ 点．
在平面 $\pi$ 上，以 $O$ 为原点，$l$ 为 $y$ 轴建立直角坐标系，则可设 $m'$ 的方程为 $y=kx$．
又设 $P$ 点的坐标为 $(x,y)$，则 $P$ 到 $l$ 的距离为 $|x|$；它到 $m'$ 的距离为 $\dfrac {|y-kx|}{\sqrt {1+k^2}}$，从而 $P$ 到 $m$ 的距离平方等于$$\dfrac {(y-kx)^2}{1+k^2}+a^2,$$其中 $a$ 为直线 $m$ 到平面 $\pi$ 的距离．因此，$P$ 点的轨迹方程为$$\dfrac {(y-kx)^2}{1+k^2}+a^2=x^2.$$可见轨迹是双曲线．
在平面 $\pi$ 上，以 $O$ 为原点，$l$ 为 $y$ 轴建立直角坐标系，则可设 $m'$ 的方程为 $y=kx$．
又设 $P$ 点的坐标为 $(x,y)$，则 $P$ 到 $l$ 的距离为 $|x|$；它到 $m'$ 的距离为 $\dfrac {|y-kx|}{\sqrt {1+k^2}}$，从而 $P$ 到 $m$ 的距离平方等于$$\dfrac {(y-kx)^2}{1+k^2}+a^2,$$其中 $a$ 为直线 $m$ 到平面 $\pi$ 的距离．因此，$P$ 点的轨迹方程为$$\dfrac {(y-kx)^2}{1+k^2}+a^2=x^2.$$可见轨迹是双曲线．
题目
答案
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备注
