已知 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\dfrac {\pi}{4}$，且 $\left|\overrightarrow b\right|=\sqrt 2 \left|\overrightarrow a\right|$，则 $2\overrightarrow b-\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow a$ 的夹角的正切值为 ．
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试理科数学（一测）
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
不妨设 $\overrightarrow a$ 的模为 $1$，$2\overrightarrow b-\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow a$ 的夹角为 $\theta$，则\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=1\cdot \sqrt 2\cdot \dfrac{\sqrt 2}2=1,\]进而\[\cos\theta=\dfrac{\left(2\overrightarrow b-\overrightarrow a\right)\cdot \overrightarrow a}{\left|2\overrightarrow b-\overrightarrow a\right|\cdot \left|\overrightarrow a\right|}=\dfrac{1}{\sqrt 5},\]于是\[\tan\theta=2.\]
题目
答案
解析
备注
