已知 ${\log_{14}}8=a$，则 ${\log_{98}}{56}=$ ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac {3+2a}{6-a}$
【解析】
根据对数的换底公式，有\[a=\dfrac{\ln 8}{\ln 14}=\dfrac{3\ln 2}{\ln 2+\ln 7},\]从而\[\ln 7=\dfrac{3\ln 2}{a}-\ln 2,\]而\[\begin{split} {\log_{98}}{56}&=\dfrac{\ln 56}{\ln 98}\\
&=\dfrac{\ln 7+3\ln 2}{2\ln 7+\ln2}\\
&=\dfrac{\left(\dfrac{3\ln 2}{a}-\ln 2\right)+3\ln 2}{2\cdot\left(\dfrac{3\ln 2}{a}-\ln 2\right)+\ln 2}\\
&=\dfrac{3+2a}{6-a}.\end{split}\]
&=\dfrac{\ln 7+3\ln 2}{2\ln 7+\ln2}\\
&=\dfrac{\left(\dfrac{3\ln 2}{a}-\ln 2\right)+3\ln 2}{2\cdot\left(\dfrac{3\ln 2}{a}-\ln 2\right)+\ln 2}\\
&=\dfrac{3+2a}{6-a}.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
