已知向量 $\overrightarrow {a}=(2\cos \theta,1)$，$\overrightarrow {b}=\left(2\cos \left(\theta-\dfrac {\pi}{3}\right),1\right)$，实数 $\theta$ 满足等式 ${\log_2}(\sqrt 3\sin \theta-\cos \theta)=x^2-2x+2$（其中 $x \in \left(0,\dfrac 32\right)$），则 $\overrightarrow {a}$ 与 $\overrightarrow {b}$ 的夹角是 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\pi}2$
【解析】
根据题意，有\[{\log_2}\left(2\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}6\right)\right)\leqslant 1\leqslant (x-1)^2+1,\]等号当\[\begin{cases} \theta=\dfrac{2\pi}3+2k\pi,k\in\mathbb Z,\\
x=1,\end{cases}\]时取得．设 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\alpha$，则\[\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}{\left|\overrightarrow a\right|\cdot \left|\overrightarrow b\right|}=\dfrac{(-1,1)\cdot (1,1)}{|(-1,1)|\cdot |(1,1)|}=0,\]于是 $\alpha=\dfrac{\pi}2$．
x=1,\end{cases}\]时取得．设 $\overrightarrow a$ 与 $\overrightarrow b$ 的夹角为 $\alpha$，则\[\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b}{\left|\overrightarrow a\right|\cdot \left|\overrightarrow b\right|}=\dfrac{(-1,1)\cdot (1,1)}{|(-1,1)|\cdot |(1,1)|}=0,\]于是 $\alpha=\dfrac{\pi}2$．
题目
答案
解析
备注
