已知函数 $f(x) = A{\cos ^2}(\omega x + \varphi) + 1(A >0,\omega > 0$ 的最大值为 $3$，$f\left(x\right)$ 的图象与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,2)$，其相邻两条对称轴间的距离为 $2$，则 $f( 1 ) + f( 2) + \cdots + f( 100) = $ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$200$
【解析】
由已知，得\[f( x ) = \dfrac{A}{2}\cos ( 2\omega x + 2\varphi ) + \dfrac{A}{2} + 1.\]由 $ f( x) $ 的最大值为 $ 3 $，得 $ A=2 $．
由其图象的相邻两条对称轴间的距离为 $ 2 $，可得$$ T=4,$$从而$$\dfrac{2\pi }{2\omega } = 4,$$解得 $\omega = \dfrac{\pi }{4}$．
由其图象过点 $ \left(0,2\right) $，可得$$ \cos 2\varphi = 0 ,$$所以$$ \varphi = \dfrac{\pi }{4} +\dfrac{k\pi}{2},k\in \mathbb Z.$$则\[f( x) = - \sin \left(\dfrac{\pi }{2}x+k\pi\right)+ 2,k\in \mathbb Z.\]从而\[f( 1) + f( 2) + f( 3) + f( 4) = 1 + 2 + 3 + 2 = 8.\]由 $ f\left( x \right) $ 的周期为 $ 4 $，得\[f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + \cdots + f\left( {100} \right) = 25 \cdot 8= 200.\]
由其图象的相邻两条对称轴间的距离为 $ 2 $，可得$$ T=4,$$从而$$\dfrac{2\pi }{2\omega } = 4,$$解得 $\omega = \dfrac{\pi }{4}$．
由其图象过点 $ \left(0,2\right) $，可得$$ \cos 2\varphi = 0 ,$$所以$$ \varphi = \dfrac{\pi }{4} +\dfrac{k\pi}{2},k\in \mathbb Z.$$则\[f( x) = - \sin \left(\dfrac{\pi }{2}x+k\pi\right)+ 2,k\in \mathbb Z.\]从而\[f( 1) + f( 2) + f( 3) + f( 4) = 1 + 2 + 3 + 2 = 8.\]由 $ f\left( x \right) $ 的周期为 $ 4 $，得\[f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + \cdots + f\left( {100} \right) = 25 \cdot 8= 200.\]
题目
答案
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备注
