已知 $a$，$b$，$c$ 分别为 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A$，$B$，$C$ 的对边，且 $a^2+b^2=c^2+ab$，$4\sin A \sin B=3$，则 $\tan \dfrac{A}{2}+\tan {\dfrac B2}+\tan {\dfrac C2}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 3$
【解析】
由余弦定理得$$a^2+b^2-c^2=2ab\cos C,$$所以$$2ab\cos C=ab,$$从而$$\cos C=\dfrac 12,\sin C=\dfrac{\sqrt 3}{2}.$$于是$$\sin A\sin B=\dfrac 34={\sin^2}C,$$由正弦定理得$$ab=c^2.$$从而$$a^2+b^2-ab=ab,$$所以 $a=b$，故$$A=B=C=\dfrac{ \pi}{3},$$所以\[\tan {\dfrac{A}{2}}+\tan {\dfrac{B}{2}}+\tan {\dfrac{C}{2}}=\sqrt 3 .\]
题目
答案
解析
备注
