已知 $ \alpha $，$\beta \in \left(0,\pi \right)$，且 $\tan (\alpha - \beta )= \dfrac 12$，$\tan \beta = - \dfrac{1}{7}$，则 $2\alpha - \beta $ 的值是
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ - \dfrac{3\pi }{4} $
【解析】
根据题意有$$\tan\left[2\left(\alpha-\beta\right)\right]=\dfrac{2\tan \left(\alpha-\beta\right)}{1-\tan ^2\left(\alpha-\beta\right)}=\dfrac43,$$所以$$\begin{split}\tan \left(2\alpha-\beta\right)&=\tan \left[2\left(\alpha-\beta\right)+\beta\right]\\&=\dfrac{\tan 2\left[\left(\alpha-\beta\right)\right]+\tan \beta}{1-\tan \left[2\left(\alpha-\beta\right)\right]\tan\beta}\\&=1,\end{split}$$因为 $\beta\in\left(\dfrac{ \pi} 2,\pi\right)$，$\tan \left(\alpha - \beta \right)= \dfrac{1}{2}$，所以$$\alpha-\beta\in\left(0,\dfrac{ \pi} 2\right)\lor \alpha-\beta\in\left(-\pi,-\dfrac{\pi} 2\right),$$所以$$2\left(\alpha-\beta\right)\in\left(0, \pi\right),$$进而$$2\left(\alpha-\beta\right)+\beta\in\left(\dfrac{ \pi} 2,2 \pi\right),$$所以$$2\alpha-\beta=-\dfrac{3 \pi}4.$$
题目
答案
解析
备注
