已知向量 $\overrightarrow a$ 和 $\overrightarrow e$ 满足条件：$\overrightarrow a\neq\overrightarrow e$ 且 $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow e\neq 0$，若对任意的 $t\in \mathbb R$，恒有 $|\overrightarrow a-t\overrightarrow e|\geqslant |\overrightarrow a-\overrightarrow e|$，则在 $\overrightarrow a,\overrightarrow e,\overrightarrow{a}+\overrightarrow e,\overrightarrow a-\overrightarrow e$ 这四个向量中，一定有垂直关系的向量是 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\overrightarrow e\perp (\overrightarrow a-\overrightarrow e)$
【解析】
根据题意，当 $t=1$ 时，$\left|\overrightarrow a-t\overrightarrow e\right|$ 取得最小值，也即向量 $\overrightarrow a$ 在 $\overrightarrow e$ 方向上的投影数量为 $\left|\overrightarrow e\right|$，因此\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow e=\overrightarrow e\cdot \overrightarrow e,\]即\[\overrightarrow e\cdot \left(\overrightarrow a-\overrightarrow e\right)=0,\]于是 $\overrightarrow e$ 与 $\overrightarrow a-\overrightarrow e$ 一定垂直．取 $\overrightarrow a=(1,1)$，$\overrightarrow e=(1,0)$，则\[\overrightarrow a+\overrightarrow e=(2,1),\overrightarrow a-\overrightarrow e=(0,1),\]此时除 $\overrightarrow e$ 与 $\overrightarrow a-\overrightarrow e$ 外其他向量两两互不垂直．
题目
答案
解析
备注
