已知 $k$ 是实数，函数 $y=\sin x(\sin x+k\cos x)$ 的值域是 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac12(1-\sqrt{1+k^2}),\dfrac12(1+\sqrt{1+k^2})\right]$
【解析】
根据题意$$\begin{split} y&=\sin x\cdot(\sin x+k\cos x) \\
&=\sin^2 x+k\sin x\cos s\\
&=\dfrac12(k\sin2x-\cos2x)+\dfrac12\\
&=\dfrac{\sqrt{1+k^2}}{2}\sin(2x+\alpha)+\dfrac12,\end{split}$$其中 $\alpha$ 的终边经过点 $(k,-1)$，所以所求值域为 $\left[\dfrac12(1-\sqrt{1+k^2}),\dfrac12(1+\sqrt{1+k^2})\right]$．
&=\sin^2 x+k\sin x\cos s\\
&=\dfrac12(k\sin2x-\cos2x)+\dfrac12\\
&=\dfrac{\sqrt{1+k^2}}{2}\sin(2x+\alpha)+\dfrac12,\end{split}$$其中 $\alpha$ 的终边经过点 $(k,-1)$，所以所求值域为 $\left[\dfrac12(1-\sqrt{1+k^2}),\dfrac12(1+\sqrt{1+k^2})\right]$．
题目
答案
解析
备注
