已知数列 $\left\{\dfrac1{a_n}\right\}$ 是等差数列，若 $a_na_{2n}+a_{2n}a_{3n}+a_{3n}a_{n}=\arcsin\dfrac12$，$a_na_{2n}a_{3n}=\arccos\left(-\dfrac12\right)$，$n$ 为正整数，则 $a_{2n}$ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$12$
【解析】
根据题意有$$\dfrac{a_na_{2n}+a_{2n}a_{3n}+a_{3n}a_{n}}{a_na_{2n}a_{3n}}=\dfrac{\arcsin\dfrac12}{\arccos\left(-\dfrac12\right)},$$即$$\dfrac1{a_{3n}}+\dfrac1{a_n}+\dfrac1{a_{2n}}=\dfrac14.$$又 $\left\{\dfrac1{a_n}\right\}$ 为等差数列，因此$$\dfrac3{a_{2n}}=\dfrac14,$$所以$$a_{2n}=12.$$
题目
答案
解析
备注
