函数 $y=\dfrac{\sin x+\sqrt3}{\cos x}$，$-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$ 的单调递减区间是 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\left(-\dfrac{\pi}2,-\arcsin\dfrac{\sqrt3}{3}\right]$
【解析】
如图，弧 $AB$ 是单位圆在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 的部分．$M$ 为弧 $AB$（不包含端点）上的点，$P\left(0,-\sqrt 3\right)$，过 $P$ 作弧 $AB$ 的切线，切点为 $Q$．
根据题意，$y$ 的几何意义为线段 $PM$ 的斜率，于是当 $M$ 从 $A$ 到 $Q$ 运动时，$y$ 单调递减，当 $M$ 从 $Q$ 到 $B$ 运动时，$y$ 单调递增．
考虑到 $\angle OPQ=\arcsin\dfrac{1}{\sqrt 3}$，于是终边过 $Q$ 时对应的角为 $-\arcsin\dfrac{\sqrt 3}3$，进而所求的单调递减区间是 $\left(-\dfrac{\pi}2,-\arcsin\dfrac{\sqrt3}{3}\right]$．
根据题意，$y$ 的几何意义为线段 $PM$ 的斜率，于是当 $M$ 从 $A$ 到 $Q$ 运动时，$y$ 单调递减，当 $M$ 从 $Q$ 到 $B$ 运动时，$y$ 单调递增．考虑到 $\angle OPQ=\arcsin\dfrac{1}{\sqrt 3}$，于是终边过 $Q$ 时对应的角为 $-\arcsin\dfrac{\sqrt 3}3$，进而所求的单调递减区间是 $\left(-\dfrac{\pi}2,-\arcsin\dfrac{\sqrt3}{3}\right]$．
题目
答案
解析
备注
