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从 $1,2,3,\cdots,9$ 这 $9$ 个数字中任取 $3$ 个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数能被 $3$ 整除的概率为 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    数论初步
    >
    整除与同余
  • 题型
    >
    计数与概率
    >
    概率计算题
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    排列数与组合数
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    随机事件的概率
    >
    古典概型
【答案】
$\dfrac{5}{14}$
【解析】
按模 $3$ 的余数将 $1,2,3,\cdots,9$ 分为三组：\[A=\{1,4,7\},B=\{2,5,8\},C=\{3,6,9\},\]则组成三位数的 $3$ 个数字或者来源于同一组，或者分别来自三个不同的组，因此所求概率为\[\dfrac{3+3^3}{{\rm C}_9^3}=\dfrac{5}{14}.\]
题目 答案 解析 备注
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