设椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），$A,B$ 是长轴的端点，$C$ 为短轴的一个端点，$F_1(-c,0),F_2(c,0)$ 是焦点，记 $\angle ACB=\alpha$，$\angle F_1CF_2=\beta$．若 $\alpha=2\beta$，则椭圆 $E$ 的离心率 $e$ 应当满足的方程是 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$2e^3-2e^2-2e+1=0$
【解析】
设坐标原点为 $O$，根据题意，$CF_1$ 是 $\triangle ACO$ 的角平分线，于是\[\dfrac{F_1A}{F_1O}=\dfrac{CA}{CO},\]也即\[\dfrac{a-c}{c}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{b},\]不妨设 $a=1$，则 $c=e$，$b=\sqrt{1-e^2}$，于是\[\dfrac{1-e}{e}=\sqrt{\dfrac{2-e^2}{1-e^2}},\]整理得\[2e^3-2e^2-2e+1=0.\]
题目
答案
解析
备注
