已知数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 满足 $ a_1=\dfrac{1}{2}$，$a_n+b_n=1$，$b_{n+1}=\dfrac{b_n}{1-a_n^2}$ $(n\in {\mathbb N^{\ast}})$，则 $b_{2017}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{2017}{2018}$
【解析】
因为 $a_n+b_n=1$，$a_1=\dfrac{1}{2}$，所以$$b_1=\dfrac{1}{2} .$$因为$$ b_{n+1}=\dfrac{b_n}{1-a_n^2},$$所以$$b_{n+1}=\dfrac{1}{2-b_n},$$所以$$\dfrac{1}{b_{n+1}-1}-\dfrac{1}{b_n-1}=-1.$$又因为 $b_1=\dfrac{1}{2}$，所以$$\dfrac{1}{b_1-1}=-2,$$所以数列 $\left\{\dfrac{1}{b_n-1}\right\}$ 是以 $ -2 $ 为首项，$ -1 $ 为公差的等差数列，所以$$\dfrac{1}{b_n-1}=-n-1,$$所以$$b_n=\dfrac{n}{n+1},$$则 $b_{2017}=\dfrac{2017}{2018}$．
题目
答案
解析
备注
