设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1=a_2=1$，$\left\{nS_n+\left(n+2\right)a_n\right\}$ 为等差数列，则 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n =$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{n}{2^{n - 1} },n\in\mathbb N^{\ast}$
【解析】
根据题意设$$b_n=nS_n+\left(n+2\right)a_n,$$则$$b_1=4,b_2=8,$$所以$$b_n=b_1+\left(n-1\right)\cdot\left(8-4\right)=4n,$$即$$b_n=nS_n+\left(n+2\right)a_n=4n.$$当 $n\geqslant 2$ 时，$$S_n-S_{n-1}+\left(1+\dfrac{2}{n} \right)a_n-\left(1+\dfrac{2}{n - 1}\right)a_{n-1}=0,$$所以$$\dfrac{2\left(n + 1\right)}{n}a_{n} = \dfrac{n + 1}{n - 1}a_{n - 1} ,$$即$$2\cdot\dfrac{a_{n} }{n} = \dfrac{a_{n - 1}}{n - 1},$$所以 $\left\{\dfrac{a_{n} }{n}\right\}$ 是以 $\dfrac{1}{2}$ 为公比，$1$ 为首项的等比数列，
所以$$\dfrac{a_{n} }{n}=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1},$$所以$$a_{n} = \dfrac{n}{2^{n - 1} },n\in \mathbb N^{\ast}.$$
所以$$\dfrac{a_{n} }{n}=\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n - 1},$$所以$$a_{n} = \dfrac{n}{2^{n - 1} },n\in \mathbb N^{\ast}.$$
题目
答案
解析
备注
