已知 $\{a_n\} $ 中，$ a_n=2n+1 $，$ S_n $ 为 $ \{a_n\} $ 的前 $ n $ 项和，则 $ \left\{\dfrac{1}{S_n }\right\} $ 的前 $ n $ 项和 $ T_n= $ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \dfrac34-\dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2) } $
【解析】
根据题意可知 $ \left\{a_n\right\} $ 为等差数列，所以$$S_n=n\left(n+2\right),$$则$$\dfrac{1}{S_n}=\dfrac{1}{n\left(n+2\right)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right).$$所以$$\begin{split}T_n&=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\cdots +\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)\\&= \dfrac34-\dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2) } .\end{split}$$
题目
答案
解析
备注
