已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上不恒为零的函数，对于任意的 $x,y \in {\mathbb{R}}$，都有 $f(x \cdot y) = xf(y) + yf(x)$ 成立．数列 $\{ a_n\} $ 满足 ${a_n} = f\left({2^n}\right)$ $(n \in \mathbb{N}^{\ast})$，且 $a_1 = 2$．则数列的通项公式 $a_n = $ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$n \cdot 2^n$
【解析】
由题可得$$\begin{split}a_n&= f\left(2^n\right)\\&=f\left(2\cdot2^{n-1}\right)\\&=2f\left(2^{n-1}\right)+2^{n-1}f(2)\\&=2a_{n-1}+2^n,\end{split}$$即$$a_n =2a_{n-1}+2^n .$$等式两边同时除以 $2^n $ 得$$\dfrac {a_n}{2^n}=\dfrac {a_{n-1}}{2^{n-1}}+1 .$$因此数列 $\left\{\dfrac{a_n}{2^n}\right\}$ 是以 $\dfrac{a_1}{2}$ 为首项，$1$ 为公差的等差数列，因此$$\dfrac {a_n}{2^n}=\dfrac {a_1}{2}+(n-1) ,$$故$$a_n=n \cdot 2^n.$$
题目
答案
解析
备注
