在等差数列 $\{ a_n\} $ 中，$\dfrac{a_{11}}{a_{10}} < - 1$，若它的前 $n$ 项和 $S_n$ 有最大值，那么 $\{ S_n\} $ 中最小的正数是第 项．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$19$
【解析】
因为 $S_n$ 有最大值，所以公差 $d < 0$，从而\[a_{10} > 0 , a_{11} < 0 , a_{11} < - a_{10},\]于是\[\begin{split}&S_{19} = \dfrac{19( a_1 + a_{19} )}{2} = \dfrac{19 \cdot 2a_{10}}{2} = 19a_{10} > 0,\\& S_{20} = \dfrac{20( a_1 + a_{20} )}{2} = 10( a_{10} + a_{11} ) < 0.\end{split}\]因此 $\{S_n\} $ 中最小的正数为 $S_{19}$．
题目
答案
解析
备注
