设方程 $x^3+x+1=0$ 与 $x+\sqrt[3]{x}+1=0$ 的实数解分别是 $\alpha,\beta$，则 $\alpha+\beta=$ ．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$-1$
【解析】
设$$f(x)=x^3+x+1,$$则$$f(\alpha )=0\land f\left(\sqrt[3]{\beta}\right)=0,$$因为函数 $f(x)=x^3+x+1$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，所以$$\alpha =\sqrt[3]\beta,$$所以$$f(\alpha)=\alpha^3+\alpha+1=\beta +\alpha +1=0,$$因此$$\alpha +\beta=-1.$$
题目
答案
解析
备注
