过四面体一个顶点的三条棱的中点可以确定一个平面，这样的平面有 $4$ 个，用这样的四个平面截去 $4$ 个小棱锥后，剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之比是 ．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$
【解析】
如图所示，根据题意可知四面体 $ABCD$ 截去 $4$ 个小棱锥后，剩下的几何体为八面体 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$．
因为\[\begin{split}S_{\triangle{A_1A_4A_5}}&=S_{\triangle{A_2A_3A_6}}=\dfrac 14S_{\triangle{ABD}},\\ S_{\triangle{A_2A_5A_6}}&=S_{\triangle{A_1A_3A_4}}=\dfrac 14 S_{\triangle{BCD}},\\ S_{\triangle{A_3A_4A_6}}&=S_{\triangle{A_1A_2A_5}}=\dfrac 14 S_{\triangle{ACD}},\\S_{\triangle{A_1A_2A_3}}&=S_{\triangle{A_4A_5A_6}}=\dfrac 14S_{\triangle{ABC}}.\end{split}\]所以剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之比为 $\dfrac 12$．
因为\[\begin{split}S_{\triangle{A_1A_4A_5}}&=S_{\triangle{A_2A_3A_6}}=\dfrac 14S_{\triangle{ABD}},\\ S_{\triangle{A_2A_5A_6}}&=S_{\triangle{A_1A_3A_4}}=\dfrac 14 S_{\triangle{BCD}},\\ S_{\triangle{A_3A_4A_6}}&=S_{\triangle{A_1A_2A_5}}=\dfrac 14 S_{\triangle{ACD}},\\S_{\triangle{A_1A_2A_3}}&=S_{\triangle{A_4A_5A_6}}=\dfrac 14S_{\triangle{ABC}}.\end{split}\]所以剩下的几何体的表面积与原四面体的表面积之比为 $\dfrac 12$．
题目
答案
解析
备注
