因为$$S_4 = 2S_2+1,$$所以$$a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 = 2(a_1 + a_1q) + 1,$$所以$$a_1 = \dfrac {1} {\left(q^2 - 1\right)(q + 1)}.$$所以\[ \begin{split}S_6 &= \dfrac {a_1\left(1 - q^6\right)} {1 - q} \\&=\dfrac {1 - q^6}{\left(q^2 - 1\right)\left(q + 1\right)\left(1 - q\right)}\\&=\dfrac {q^6 - 1}{\left(q^2 - 1\right)^2}\\&= q^2 - 1 + \dfrac 3 {q^2 - 1} + 3\\&\geqslant 2\sqrt 3 + 3.\end{split} \]当且仅当 $q^2 - 1 = \sqrt 3$ 时，等号成立，即最小值为 $2\sqrt 3+3$．