如果含有 $3$ 个元素的一个集合既可以表示为 $\left\{\sin \varphi,\cos \theta,0\right\}$，也可以表示为 $\left\{\sin^2\varphi,\sin \varphi+\cos \theta,-1\right\}$，那么 $\cos \varphi=$ ，$\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=$ ．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$0$；$\pm \dfrac{\sqrt 2}{2}$
【解析】
根据题意有$$\{\sin \varphi,\cos \theta ,0\}=\left\{\sin ^2\varphi,\sin \varphi+\cos \theta ,-1\right\}.$$所以$$\sin \varphi+\cos \theta=0,$$所以$$\{\sin \varphi,\cos \theta ,0\}=\{-\cos \theta,\cos \theta,0\}=\left\{\sin ^2\varphi,\sin \varphi+\cos \theta ,-1\right\}.$$因此$$\left(\sin \varphi,\cos \theta\right)=(1,-1)\lor (-1,1). $$进而可得$$\cos \varphi =0,\sin\left(\theta +\dfrac{\pi}{4}\right)=\pm \dfrac {\sqrt 2}{2}.$$
题目
答案
解析
备注
