数列 $\{ a_n\}$ 满足 $a_n = 2a_{n - 1} + 2^n - 1$ $(n \geqslant 2)$，其中 $a_3 = 25$．若存在一个实数 $\lambda $，使得 $\left\{ \dfrac{a_n + \lambda }{2^n}\right\} $ 为等差数列，则 $\lambda = $ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ -1 $
【解析】
因为$$a_n = 2a_{n - 1} + 2^n - 1(n \geqslant 2),a_3=25 $$所以$$ a_2=9 , a_1=3.$$所以$$ a_n-1=2a_{n-1}-2+2^n(n\geqslant 2) ,$$所以$$ \dfrac{a_n-1}{2^n}=\dfrac{a_{n-1}-1}{2^{n-1}}+1,$$因此 $\left\{\dfrac{a_n-1}{2^n}\right\} $ 为是首项为 $1 $，公差为 $1 $ 的等差数列，故 $\lambda=-1 $．
题目
答案
解析
备注
