函数 $f(x)=4^x-a\cdot 2^{x+1}$（$-1\leqslant x\leqslant 2$）的最小值为 $g(a)$，则 $g(2)=$ ，$g(a)=$ ．
【难度】
【出处】
2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$-4$；$g(a)=\begin{cases}\dfrac 14-a,&a\leqslant \dfrac 12,\\ -a^2,&\dfrac 12<a<4,\\ 16-8a,&a\geqslant 4.\end{cases}$
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} g(a)&=\max\limits_{-1\leqslant x\leqslant 2}\left(4^x-a\cdot 2^{x+1}\right)\\
&=\max\limits_{\frac 12\leqslant x\leqslant 4}\left(x^2-2ax\right)\\
&=\begin{cases} \dfrac 14-a,&a\leqslant \dfrac 12,\\
-a^2,&\dfrac 12<a<4,\\
16-8a,&a\geqslant 4.\end{cases}\end{split}\]
&=\max\limits_{\frac 12\leqslant x\leqslant 4}\left(x^2-2ax\right)\\
&=\begin{cases} \dfrac 14-a,&a\leqslant \dfrac 12,\\
-a^2,&\dfrac 12<a<4,\\
16-8a,&a\geqslant 4.\end{cases}\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
