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函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$（$A>0,\omega >0$）在同一个周期内，当 $x=\dfrac{\pi}{12}$ 时，$y$ 的最大值为 $3$；当 $x=\dfrac{7\pi}{12}$ 时，$y$ 的最小值为 $-3$，则函数 $y$ 的解析式为 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    三角函数
  • 知识点
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    函数
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    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
$y=3\sin\left(2x+\dfrac {\pi}{3}+2k\pi\right),k\in \mathbb Z$
【解析】
根据题意可知$$\dfrac {T}{2}=\dfrac{7\pi}{12}-\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2},$$所以$$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2.$$又函数图象过点 $\left(\dfrac{\pi}{12},3\right)$，所以$$2\cdot \dfrac{\pi}{12}+\varphi=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb Z.$$所以 $\varphi=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$，进而可得$$y=3\sin\left(2x+\dfrac {\pi}{3}+2k\pi\right),k\in \mathbb Z.$$
题目 答案 解析 备注
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