函数 $y=2\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+3\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}$ 的最小值为 ,此时 $x=$ 
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高一(二试)
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    绝对值函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
$2$;$10$
【解析】
函数 $f(x)$ 的定义域为 $[1,+\infty)$.令$$t=\sqrt{x-1},t\geqslant 0,$$则函数化为$$y=2|t-2|+3|t-3|,t\geqslant 0.$$因为函数图象在 $[0,2),[2,3),[3,+\infty)$ 上的斜率分别为$$-5,-1,5,$$所以当 $t=3$,即 $x=10$ 时,函数取得最小值,最小值为 $2$.
题目 答案 解析 备注
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