若函数 $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ 且 $f^{(n)}(x)=\underbrace{f(f(f\cdots f}_{n}(x)))$，则 $f^{(99)}(1)=$ ．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac 1{10}$
【解析】
因为\[\begin{split}&f^{(1)}(x)=f(x)=\dfrac x{\sqrt{1+x^2}},\\&f^{(2)}(x)=f[f(x)]=\dfrac x{\sqrt{1+2x^2}},\\ &\cdots \\& f^{(99)}(x)=\dfrac x{\sqrt{1+99x^2}},\end{split}\]所以 $f^{(99)}(1)=\dfrac 1{10}$．
题目
答案
解析
备注
