方程 $\dfrac 1x+\dfrac 1y=\dfrac 1{2011}$ 有 组不同的正整数解，有 组不同的整数解．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$3$；$5$
【解析】
由 $\dfrac 1x+\dfrac 1y=\dfrac{1}{2011}$ 可得$$(x-2011)(y-2011)=2011^2.$$考虑正整数解，因为 $2011$ 为质数，所以$$\begin{cases}x-2011=2011,\\y-2011=2011,\end{cases}\lor\begin{cases}x-2011=2011^2,\\ y-2011=1,\end{cases}\lor\begin{cases}y-2011=2011^2,\\ x-2011=1,\end{cases}$$所以原方程有 $3$ 组正整数解，同理可得整数解有 $5$ 组．
题目
答案
解析
备注
