已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，对于任意的 $n\in \mathbb N^{\ast}$ 都有 $S_n=\dfrac 34 a_n-\dfrac 12$，则 $a_1=$ ，使 $-2011<S_n<-1$ 的 $n$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$-2$；$1,3,5,7$
【解析】
因为$$S_n=\dfrac 34 a_n-\dfrac 12,$$当 $n=1$ 时，$a_1=-2$；
当 $n\geqslant 2$ 时，$$S_{n-1}=\dfrac 34a_{n-1}-\dfrac 12,$$所以$$a_n=-3a_{n-1},$$故 $\{a_n\}$ 是公比为 $-3$ 的等比数列，因此$$a_n=-2\cdot (-3)^{n-1},$$进而$$S_n=\dfrac 32\cdot (-3)^{n-1}-\dfrac 12.$$解不等式 $-2011<S_n<-1$ 得$$n=1,3,5,7.$$
当 $n\geqslant 2$ 时，$$S_{n-1}=\dfrac 34a_{n-1}-\dfrac 12,$$所以$$a_n=-3a_{n-1},$$故 $\{a_n\}$ 是公比为 $-3$ 的等比数列，因此$$a_n=-2\cdot (-3)^{n-1},$$进而$$S_n=\dfrac 32\cdot (-3)^{n-1}-\dfrac 12.$$解不等式 $-2011<S_n<-1$ 得$$n=1,3,5,7.$$
题目
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