各项均为正偶数的数列 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$ 中，前三项依次成公差为 $d$ $(d > 0)$ 的等差数列，后三项依次成公比为 $q$ 的等比数列．若 $a_4 - a_1= 88$，则 $q$ 的所有可能的值构成的集合为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left\{ \dfrac{5}{3},\dfrac{8}{7} \right\}$
【解析】
由题意，可设 $a_1$，$a_1 + d$，$a_1 + 2d$，$a_1 + 88$，其中 $a_1$，$d$ 均为正偶数，则\[(a_1 + 2d)^2= (a_1 + d)(a_1 + 88) ,\]整理得\[a_1 = \dfrac{4d(22 - d)}{3d - 88} > 0.\]所以$$(d - 22)(3d - 88) < 0,$$即\[22 < d < \dfrac{88}{3} ,\]所以 $d$ 的所有可能值为 $24$，$26$，$28$．
当 $d = 24$ 时，$a_1 = 12$，$q = \dfrac{5}{3}$；
当 $d = 26$ 时，$a_1 = \dfrac{208}{5}$（舍去）；
当 $d = 28$ 时，$a_1 = 168$，$q = \dfrac{8}{7}$．
所以 $q$ 的所有可能的值构成的集合为 $\left\{ \dfrac{5}{3},\dfrac{8}{7} \right\}$．
当 $d = 24$ 时，$a_1 = 12$，$q = \dfrac{5}{3}$；
当 $d = 26$ 时，$a_1 = \dfrac{208}{5}$（舍去）；
当 $d = 28$ 时，$a_1 = 168$，$q = \dfrac{8}{7}$．
所以 $q$ 的所有可能的值构成的集合为 $\left\{ \dfrac{5}{3},\dfrac{8}{7} \right\}$．
题目
答案
解析
备注
