已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=qa_n+2q-2$（$q\in{\mathbb {R}}\land q\neq 1 $），若 $a_3,a_4,a_5\in \{-5,-2,-1,7\}$，则 $a_1=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ -2 $ 或 $ -\dfrac{17}{9} $ 或 $ 79 $
【解析】
由 $a_{n+1}=qa_n+2q-2$，得 $a_{n+1}+2=q(a_n+2)$．
当 $ a_n=-2 $ 时，显然有 $ a_3, a_4, a_5\in\{-5,-2,-1,7\} $．
当 $ a_n\neq -2 $ 时，由 $ a_3, a_4, a_5\in\{-5,-2,-1,7\} $，得\[ a_{3}+2, a_{4}+2, a_{5}+2\in\{-3,0,1,9\}. \]由 $ a_{3}+2, a_{4}+2, a_{5}+2 $ 成等比数列及 $ q\neq 1 $，得\[ \begin{cases}a_{3}+2=1,\\a_{4}+2=-3,\\ a_{5}+2=9.\end{cases} \lor\begin{cases}a_{3}+2=9,\\a_{4}+2=-3,\\ a_{5}+2=1.\end{cases} \]解得$$ \begin{cases}a_{3}=-1,\\q=-3.\end{cases} \lor \begin{cases}a_{3}=7,\\q=-\dfrac{1}{3 }.\end{cases} $$进而可得 $ a_1=-\dfrac{17}{9}\lor a_1=79$．
当 $ a_n=-2 $ 时，显然有 $ a_3, a_4, a_5\in\{-5,-2,-1,7\} $．
当 $ a_n\neq -2 $ 时，由 $ a_3, a_4, a_5\in\{-5,-2,-1,7\} $，得\[ a_{3}+2, a_{4}+2, a_{5}+2\in\{-3,0,1,9\}. \]由 $ a_{3}+2, a_{4}+2, a_{5}+2 $ 成等比数列及 $ q\neq 1 $，得\[ \begin{cases}a_{3}+2=1,\\a_{4}+2=-3,\\ a_{5}+2=9.\end{cases} \lor\begin{cases}a_{3}+2=9,\\a_{4}+2=-3,\\ a_{5}+2=1.\end{cases} \]解得$$ \begin{cases}a_{3}=-1,\\q=-3.\end{cases} \lor \begin{cases}a_{3}=7,\\q=-\dfrac{1}{3 }.\end{cases} $$进而可得 $ a_1=-\dfrac{17}{9}\lor a_1=79$．
题目
答案
解析
备注
