在等比数列 $ \{a_n\} $ 中，$ a_n>0 $（$ n\in \mathbb N^{\ast} $），公比 $ q\in \left(0,1\right) $，且 $ a_1a_5+2a_3a_5+a_2a_8=25 $，又 $ a_3 $ 与 $ a_5 $ 的等比中项为 $ 2 $，$ b_n={\log _{2}}a_n $，数列 $ \{b_n\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，则当 $ \dfrac{S_1}{1}+\dfrac{S_2}{2}+\cdots +\dfrac{S_n}{n} $ 最大时，$ n $ 的值等于 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$8 $ 或 $ 9 $
【解析】
根据等比数列的性质，得\[\begin{split}a_{1}a_{5}+2a_{3}a_{5}+a_{2}a_{8}&=a_3^2+2a_{3}a_{5}+a_5^2\\&=\left(a_{3}+a_{5}\right)^2\\&=25.\end{split} \]由 $ a_{n}>0 $，得\[ a_{3}+a_{5}=5 ,\]再结合 $ q\in \left(0,1\right) $，$ a_{3}\cdot a_{5}=4 $，解得\[ a_{3}=4 ,a_{5}=1, \]由此解得\[q=\dfrac 12,a_{1}=16, \]从而\[\begin{split}&a_{n}=16\cdot \left(\dfrac 1 2 \right)^{n-1}=2^{5-n}, \\&b_{n}=\log _{2}a_{n}=5-n, \end{split}\]则 $ \left\{b_{n}\right\} $ 是以 $ b_{1}=4 $ 为首项，$ -1 $ 为公差的等差数列，从而\[\begin{split}&S_{n}=\dfrac {n\left(9-n\right)} 2 , \dfrac {S_n} n =\dfrac {9-n} 2 .\end{split}\]当 $ n\leqslant 8 $ 时，\[ \dfrac {S_n} n >0; \]当 $ n=9 $ 时，\[\dfrac {S_n} n =0 ;\]当 $ n>9 $ 时，\[\dfrac {S_n} n <0 .\]综上，当 $ n=8$ 或 $9 $ 时，$ \dfrac{S_1}{1}+\dfrac{S_2}{2}+\cdots +\dfrac{S_n}{n} $ 最大．
题目
答案
解析
备注
