已知 $\left|\overrightarrow{a}\right|,\left|\overrightarrow{b}\right|$ 都是整数，且满足 $\left(\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\right)\left(\left|\overrightarrow{a}\right|+3\left|\overrightarrow{b}\right|\right)=105$，$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot \left(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right)=33$，则 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
令 $\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|=m$，则$$\left|m(m+2\left|\overrightarrow{b}\right|)\right|=105,$$解得 $m>6$．
又$$105=3\cdot 5\cdot 7,$$所以 $m=7$，从而有$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\dfrac{105-49}{14}=4 , \left|\overrightarrow{a}\right|=7-4=3,$$所以\[\begin{split}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot \left(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right)&=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+3\left|\overrightarrow{b}\right|^2+4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\\&=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+3\left|\overrightarrow{b}\right|^2+4\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \alpha\\&=33,\end{split}\]这里 $\alpha$ 是 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角，从而有$$\cos \alpha=\dfrac 1{4\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}\left(33-\left|\overrightarrow{a}\right|^2-3\left|\overrightarrow{b}\right|^2\right)=-\dfrac 12.$$又 $0^{\circ}\leqslant \alpha <180^{\circ}$，所以 $\alpha =120^{\circ}$．
又$$105=3\cdot 5\cdot 7,$$所以 $m=7$，从而有$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\dfrac{105-49}{14}=4 , \left|\overrightarrow{a}\right|=7-4=3,$$所以\[\begin{split}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot \left(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right)&=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+3\left|\overrightarrow{b}\right|^2+4\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\\&=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+3\left|\overrightarrow{b}\right|^2+4\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|\cos \alpha\\&=33,\end{split}\]这里 $\alpha$ 是 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{b}$ 的夹角，从而有$$\cos \alpha=\dfrac 1{4\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}\left(33-\left|\overrightarrow{a}\right|^2-3\left|\overrightarrow{b}\right|^2\right)=-\dfrac 12.$$又 $0^{\circ}\leqslant \alpha <180^{\circ}$，所以 $\alpha =120^{\circ}$．
题目
答案
解析
备注
