在单位圆 $x^2+y^2=1$ 与直线 $l:x-2y+1=0$ 形成的两个弓形区域里，能够包含的圆的最大面积是 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{3+\sqrt5}{10}\pi$
【解析】
根据对称性可知，弓形内包含的圆的面积最大时，圆心必然在弦 $AB$ 的中垂线 $CD$ 上，如图．其 $CD$ 中点 $E$，且过 $E$ 作 $CD$ 的垂线交圆 $O$ 于点 $F,G$，连接 $CF$，由题可知$$CE=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{CO+OD}{2}=\dfrac12+\dfrac{1}{2\sqrt5},$$在 $\triangle OFE$ 中，$$OE=OD-DE=\dfrac12-\dfrac{1}{2\sqrt5},$$因此，有$$EF=\sqrt{OF^2-EF^2}=\sqrt{\left(\dfrac12+\dfrac{1}{2\sqrt5}\right)\left(\dfrac32-\dfrac{1}{2\sqrt5}\right)}>CE,$$故以 $E$ 为圆心，$CE$ 为半径的圆即为面积最大的圆，其面积为 $\dfrac{3+\sqrt5}{10}\pi$．
题目
答案
解析
备注
