已知 $P$ 是边长为 $a$ 的正三角形内的一点，且 $P$ 到各边的距离分别为 $x,y,z$，则以 $x,y,z$ 为棱长的长方体的体积的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt3a^3}{72}$
【解析】
根据 $\triangle ABC$ 的面积不变，有$$\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=\dfrac12a(x+y+z),$$整理得$$x+y+z=\dfrac{\sqrt3}{2}a,$$设长方体的体积为 $V$，根据三元均值不等式，有$$V=xyz\leqslant\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)^3=\dfrac{\sqrt3a^3}{72}.$$当且仅当 $x=y=z=\dfrac{\sqrt3}{6}a$ 时，等号成立，故体积的最大值为 $\dfrac{\sqrt3a^3}{72}$．
题目
答案
解析
备注
