已知直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面为直角三角形，$\angle ACB=90^\circ$，$BC=CC_1=2,AC=6\sqrt2$，$P$ 是 $BC_1$ 上的一动点，则 $CP+PA_1$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
将 $\triangle CBC_1$ 沿 $BC_1$ 折到平面 $A_1C_1B$ 内，如图．注意到$$CP+PA_1\geqslant CA_1,$$由题可知$$A_1C_1=6\sqrt2,CC_1=2,\angle A_1C_1C=90^\circ+45^\circ=135^\circ,$$依据余弦定理有$$A_1C^2=A_1C_1^2+C_1C^2-2\cdot A_1C_1\cdot C_1C\cdot\cos\angle A_1C_1C=10,$$因此 $CP+PA_1$ 的最小值是 $10$．
题目
答案
解析
备注
