若 $0\leqslant\theta\leqslant\dfrac{\pi}{4}$，且 $\dfrac{\sqrt2}{2}\leqslant\sin\theta+\cos\theta\leqslant\dfrac{\sqrt6}{2}$，则 $\sin2\theta+\cos2\theta$ 的最大值为 ，最小值为 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\dfrac{1+\sqrt3}{2}$；$1$
【解析】
题中不等式即$$\dfrac12\leqslant\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\leqslant\dfrac{\sqrt3}{2},$$结合 $0\leqslant\theta\leqslant\dfrac{\pi}{4}$，解得$$\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}{12}\right],$$再结合$$\sin2\theta+\cos2\theta=\sqrt2\sin\left(2\theta+\dfrac{\pi}{4}\right),$$因此 $\sin2\theta+\cos2\theta$ 的最大值为 $\dfrac{1+\sqrt3}{2}$，最小值为 $1$．
题目
答案
解析
备注
