在平面直角坐标系 $xOy$ 中，向量 $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ 分别是 $x,y$ 轴上的单位向量，已知点 $A,B,C$ 三点共线，$\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{i}+m\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{OB}=n\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{OC}=5\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$，且 $\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB}$，则 $(m,n)$ 的坐标为 ，或 ．
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\left(3,\dfrac32\right)$；$(6,3)$
【解析】
由 $\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OB}$，则有$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\left(-2\overrightarrow{i}+m\overrightarrow{y}\right)\cdot\left(n\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)=-2n+m=0,$$又 $\overrightarrow{CA}=-7\overrightarrow{i}+(m+1)\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{CB}=(n-5)\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$，结合 $A,B,C$ 三点共线，有$$-7\cdot2=(m+1)(n-5),$$解得 $(m,n)$ 的取值为 $\left(3,\dfrac32\right)$ 或 $(6,3)$．
题目
答案
解析
备注
