设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，$AC$ 边上点 $D$ 满足 $BD\perp AO$，已知 $AC=3$，$AB=2$，则 $AD$ 的长度等于 ．
【难度】
【出处】
2017年北京大学物理秋令营基础学业能力数学测试
【标注】
【答案】
$\dfrac 43$
【解析】
如图，设 $M,N$ 分别为 $AB,AC$ 的中点，$MH$ 垂直 $OA$ 且交 $AO$ 于 $H$，交 $AC$ 于 $P$，连接 $OM,ON$．
由于 $\triangle AHP$ 与 $\triangle ANO$ 相似，因此\[AP=\dfrac{AO\cdot AH}{AN}=\dfrac{AM^2}{AN}=\dfrac 23,\]于是\[AD=2AP=\dfrac 43.\]
由于 $\triangle AHP$ 与 $\triangle ANO$ 相似，因此\[AP=\dfrac{AO\cdot AH}{AN}=\dfrac{AM^2}{AN}=\dfrac 23,\]于是\[AD=2AP=\dfrac 43.\]
题目
答案
解析
备注
